底面の半径が2、母線の長さが12の円錐がある。点Aから円錐の側面をそって点Aまで戻るときの最短距離を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が2、母線の長さが12の円錐がある。点Aから円錐の側面をそって点Aまで戻るときの最短距離を求める。

2. 解き方の手順

円錐の側面を展開すると扇形になる。

扇形の半径は母線の長さに等しいので12。

扇形の弧の長さは底面の円周に等しいので、$2 \pi \times 2 = 4\pi$。

扇形の中心角を$\theta$とすると、$12 \theta = 4\pi$より、$\theta = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$。

これは60度である。

点Aから点Aまで側面をそって戻る最短距離は、展開図において点Aと点Aを結ぶ線分の長さである。

扇形を展開したとき、元の点Aは2つ現れ、これらをA1, A2とする。

扇形の中心をOとすると、三角形OA1A2はOA1 = OA2 = 12、角A1OA2 = $\frac{\pi}{3}$の二等辺三角形である。

角A1OA2が60度なので、三角形OA1A2は正三角形である。

したがって、A1A2の長さは12である。

3. 最終的な答え

12