点$(3, 1)$から円$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10$に引いた接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

点$(3, 1)$から円$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10$に引いた接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の中心と半径を求めます。

円の方程式は$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10$なので、中心は$(1, -3)$、半径は$\sqrt{10}$です。

接線を$y - 1 = m(x - 3)$、つまり$y = mx - 3m + 1$とおきます。これを円の方程式に代入して、$x$に関する二次方程式を作り、それが重解を持つ条件を求めます。

$(x-1)^2 + (mx - 3m + 1 + 3)^2 = 10$

$(x-1)^2 + (mx - 3m + 4)^2 = 10$

$x^2 - 2x + 1 + m^2x^2 - 6m^2x + 8mx + 9m^2 - 24m + 16 = 10$

$(1+m^2)x^2 + (-2 - 6m^2 + 8m)x + (1 + 9m^2 - 24m + 16 - 10) = 0$

$(1+m^2)x^2 + (-6m^2 + 8m - 2)x + (9m^2 - 24m + 7) = 0$

判別式$D = 0$となる条件を考えます。

$D = (-6m^2 + 8m - 2)^2 - 4(1+m^2)(9m^2 - 24m + 7)$

$D = (36m^4 + 64m^2 + 4 - 96m^3 + 24m^2 - 32m) - 4(9m^2 - 24m + 7 + 9m^4 - 24m^3 + 7m^2)$

$D = 36m^4 - 96m^3 + 88m^2 - 32m + 4 - 4(9m^4 - 24m^3 + 16m^2 - 24m + 7)$

$D = 36m^4 - 96m^3 + 88m^2 - 32m + 4 - 36m^4 + 96m^3 - 64m^2 + 96m - 28 = 0$

$24m^2 + 64m - 24 = 0$

$3m^2 + 8m - 3 = 0$

$(3m - 1)(m + 3) = 0$

$m = \frac{1}{3}, -3$

$m = \frac{1}{3}$のとき、$y = \frac{1}{3}x - 3(\frac{1}{3}) + 1 = \frac{1}{3}x - 1 + 1 = \frac{1}{3}x$

$x - 3y = 0$

$m = -3$のとき、$y = -3x - 3(-3) + 1 = -3x + 9 + 1 = -3x + 10$

$3x + y - 10 = 0$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、

$x - 3y = 0$

$3x + y - 10 = 0$