全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、与えられた情報 $n(U)=100, n(A)=36, n(B)=42, n(A \cap B) = 15$ をもとに、以下の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、与えられた情報 $n(U)=100, n(A)=36, n(B)=42, n(A \cap B) = 15$ をもとに、以下の個数を求めます。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$ の計算:

$n(\overline{A})$ は $A$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ で計算できます。

$n(\overline{A}) = 100 - 36 = 64$

(2) $n(\overline{B})$ の計算:

$n(\overline{B})$ は $B$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ で計算できます。

$n(\overline{B}) = 100 - 42 = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B})$ の計算:

$n(\overline{A \cap B})$ は $A \cap B$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(\overline{A \cap B}) = 100 - 15 = 85$

(4) $n(A \cup B)$ の計算:

$n(A \cup B)$ は $A$ と $B$ の和集合の要素の個数なので、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(A \cup B) = 36 + 42 - 15 = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B})$ の計算:

$n(\overline{A \cup B})$ は $A \cup B$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で計算できます。

$n(\overline{A \cup B}) = 100 - 63 = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ の計算:

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ が成り立ちます。したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$ となり、(5)で計算した値と同じになります。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 85$

(4) $n(A \cup B) = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$