全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$A \subset B$のとき、以下の集合演算の結果を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$A \subset B$のとき、以下の集合演算の結果を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

$A \subset B$は、$A$が$B$の部分集合であることを意味する。つまり、$A$の要素はすべて$B$の要素でもある。

(1) $A \cap B$は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。$A \subset B$なので、$A$の要素はすべて$B$に含まれる。したがって、$A \cap B = A$となる。

(2) $A \cup B$は、$A$または$B$に含まれる要素の集合である。$A \subset B$なので、$A$の要素はすべて$B$に含まれる。したがって、$A \cup B = B$となる。

(3) $\overline{B}$は、$B$の補集合であり、$U$の中で$B$に含まれない要素の集合である。$A \subset B$なので、$A$の要素はすべて$B$に含まれる。よって、$A$の要素は$\overline{B}$に含まれない。したがって、$A \cap \overline{B} = \emptyset$となる。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = A$

(2) $A \cup B = B$

(3) $A \cap \overline{B} = \emptyset$