三角関数の合成を用いて、与えられた式を解き、$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ の大小関係を求める問題です。

1. 問題の内容

三角関数の合成を用いて、与えられた式を解き、$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ の大小関係を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \sin(\theta + \phi)$

ここで、$\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\phi = \frac{1}{2}$となるので、$\phi = \frac{\pi}{6}$です。

したがって、

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

よって、

ケ = 2, コ = 6

次に、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}$を解きます。

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

エ = $\sqrt{3}$, オ = 2

サ = $\sqrt{3}$, シ = 2

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$を$\alpha_1$, $\alpha_2$とします。

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$

よって、$\alpha_1 = \frac{\pi}{6}, \alpha_2 = \frac{\pi}{2}$

次に、$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$を$\beta_1$, $\beta_2$とします。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$の値は上で計算した$\alpha_1$と$\alpha_2$と同じ値なので、$\beta_1 = \frac{\pi}{6}, \beta_2 = \frac{\pi}{2}$です。

$\beta_1 + \beta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

よって、

ス = 2, セ = 3

$\alpha_1 = \frac{\pi}{6}$, $\alpha_2 = \frac{\pi}{2}$

そして、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 1$を解きます。

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\theta = 0, \frac{4\pi}{6}$

$\theta = 0, \frac{2\pi}{3}$

よって、$\beta_1 = 0, \beta_2 = \frac{2\pi}{3}$

$\alpha_1 = \frac{\pi}{6}, \alpha_2 = \frac{\pi}{2}$

$\beta_1 = 0, \beta_2 = \frac{2\pi}{3}$

大小関係は、$\beta_1 < \alpha_1 < \alpha_2 < \beta_2$

3. 最終的な答え

ケ = 2

コ = 6

エ = $\sqrt{3}$

オ = 2

サ = $\sqrt{3}$

シ = 2

ス = 2

セ = 3

ソ = ③