問題は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sqrt{3}\sin{2\theta} + \cos{2\theta} + 1 - \frac{8}{3}\cos{\theta} = 0$ を満たす $\theta$ について考える問題です。2倍角の公式や三角関数の合成を用いて、$\theta$に関する方程式を解き、与えられた範囲での解を求めます。

1. 問題の内容

問題は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sqrt{3}\sin{2\theta} + \cos{2\theta} + 1 - \frac{8}{3}\cos{\theta} = 0$ を満たす $\theta$ について考える問題です。2倍角の公式や三角関数の合成を用いて、$\theta$に関する方程式を解き、与えられた範囲での解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2倍角の公式を利用して、$\sin{2\theta}$ と $\cos{2\theta}$ をそれぞれ $\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ で表します。

$\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$

$\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1$

したがって、

$\sqrt{3}(2\sin{\theta}\cos{\theta}) + (2\cos^2{\theta} - 1) + 1 - \frac{8}{3}\cos{\theta} = 0$

$2\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta} + 2\cos^2{\theta} - \frac{8}{3}\cos{\theta} = 0$

$2\cos{\theta}(\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} - \frac{4}{3}) = 0$

(2) 上記より、

$\cos{\theta} = 0$ または $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{4}{3}$

となります。

(3) $\cos{\theta} = 0$ を満たす $\theta$ は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ の2つです。$\alpha_1 < \alpha_2$ とすると、$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$, $\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$ です。

(4) $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{4}{3}$ を解きます。三角関数の合成を用いると、

$2\sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = \frac{4}{3}$

$\sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = \frac{2}{3}$

となります。

(5) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = \frac{2}{3}$ を満たす $\theta$ は2つ存在します。$\theta + \frac{\pi}{6} = \beta_1, \beta_2$ とすると、$\theta = \beta_1 - \frac{\pi}{6}, \beta_2 - \frac{\pi}{6}$ です。ここで、$\beta_1$ と $\beta_2$ はそれぞれ $\arcsin{\frac{2}{3}}$ と $\pi - \arcsin{\frac{2}{3}}$ に対応します。

(6) 問題文に与えられた$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ の大小関係を調べます。$\alpha_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\alpha_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ であり、$\sin{\beta_1} = \frac{2}{3}$ なので $\beta_1 = \arcsin{\frac{2}{3}} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \arcsin{\frac{2}{3}}$, $\beta_2 = \pi - \arcsin{\frac{2}{3}} + \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\pi - \arcsin{\frac{2}{3}}$ であるから、$\arcsin{\frac{2}{3}} \approx 0.73$ 程度なので、$\beta_1 < \alpha_1 < \alpha_2$ かつ $\beta_1 < \beta_2$ が成り立ちます。$\beta_2 = \pi - \arcsin{\frac{2}{3}}$, $\pi \approx 3.14$ なので、$\beta_2 \approx 2.41$ となります。よって、$\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$ (選択肢(2))