数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 - 22n + 3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) である。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。また、与えられた会話文の空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 - 22n + 3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) である。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。また、与えられた会話文の空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n \ge 2$ のとき、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = (a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}) + a_n = S_{n-1} + a_n$ であるから、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つ。したがって、アは $S_{n-1}$ (②) である。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 22n + 3) - ((n-1)^2 - 22(n-1) + 3) = n^2 - 22n + 3 - (n^2 - 2n + 1 - 22n + 22 + 3) = n^2 - 22n + 3 - n^2 + 2n - 1 + 22n - 22 - 3 = 2n - 23$

$a_n = 2n - 23$ ( $n \ge 2$ )となる。よって、イは2、ウエは23となる。

(2) $a_1 = S_1$ が常に成り立つから、オは $a_1 = S_1$ (②) である。

$a_1 = S_1 = 1^2 - 22(1) + 3 = 1 - 22 + 3 = -18$

$a_1 = -18$ なので、カキクは-18。

(3) $a_n > 0$ となる $n$ の範囲を求める。

$a_n = 2n - 23 > 0$

$2n > 23$

$n > \frac{23}{2} = 11.5$

$n$ は自然数なので、$n \ge 12$。よって、ケコは12。

$\sum_{k=1}^{30} |a_k| - S_{30}$ を求める。

$a_n = 2n - 23$ なので、$a_1 = -21, a_2 = -19, \dots, a_{11} = -1, a_{12} = 1, \dots, a_{30} = 37$

$|a_n| = |2n - 23|$

$\sum_{k=1}^{30} |a_k| = \sum_{k=1}^{11} |2k - 23| + \sum_{k=12}^{30} |2k - 23| = \sum_{k=1}^{11} (23 - 2k) + \sum_{k=12}^{30} (2k - 23)$

$\sum_{k=1}^{11} (23 - 2k) = \sum_{k=1}^{11} 23 - 2 \sum_{k=1}^{11} k = 23(11) - 2 \cdot \frac{11(12)}{2} = 253 - 132 = 121$

$\sum_{k=12}^{30} (2k - 23) = 2 \sum_{k=12}^{30} k - \sum_{k=12}^{30} 23 = 2 (\sum_{k=1}^{30} k - \sum_{k=1}^{11} k) - 23(30-12+1) = 2(\frac{30(31)}{2} - \frac{11(12)}{2}) - 23(19) = 2(465 - 66) - 437 = 2(399) - 437 = 798 - 437 = 361$

$\sum_{k=1}^{30} |a_k| = 121 + 361 = 482$

$S_{30} = 30^2 - 22(30) + 3 = 900 - 660 + 3 = 243$

$\sum_{k=1}^{30} |a_k| - S_{30} = 482 - 243 = 239$

サシスは239。

3. 最終的な答え

(1) ア：②, イ：2, ウエ：23

(2) オ：②, カキク：-18

(3) ケコ：12, サシス：239