会社Kで製造されたミネラルウォーターの内容量の平均が1000mLであるかどうかを仮説検定する問題です。標本平均 $X$ が近似的に従う正規分布と、標準正規分布に従う統計量 $Z$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

会社Kで製造されたミネラルウォーターの内容量の平均が1000mLであるかどうかを仮説検定する問題です。標本平均 $X$ が近似的に従う正規分布と、標準正規分布に従う統計量 $Z$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

* 標本平均 $X$ は、母平均 $m$、標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の正規分布に従います。ここで、$m = 1000$ (帰無仮説)、$\sigma = 35$ (母標準偏差)、$n = 100$ (標本数)です。したがって、$X$ は近似的に $N(1000, (\frac{35}{\sqrt{100}})^2)$ つまり $N(1000, (3.5)^2)$ に従います。

* 標準正規分布に従う統計量 $Z$ は、$Z = \frac{X - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ で計算されます。問題文に与えられた数値を代入すると、$Z = \frac{X - 1000}{3.5}$ となります。

3. 最終的な答え

サ: $N(1000, 3.5^2)$

シ: $\frac{X - 1000}{3.5}$