与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求めます。今回は、(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9$、(2) $y = \sin x$ (ただし、$0 < x < 2\pi$)、(3) $y = 2xe^x$、(4) $y = x^2 - \frac{2}{x}$、(5) $y = \frac{x^2+1}{x+1}$ の5つの関数について求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求めます。今回は、(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9$、(2) $y = \sin x$ (ただし、$0 < x < 2\pi$)、(3) $y = 2xe^x$、(4) $y = x^2 - \frac{2}{x}$、(5) $y = \frac{x^2+1}{x+1}$ の5つの関数について求めます。

2. 解き方の手順

関数の凹凸を調べるには、二階導関数を計算し、その符号を調べます。二階導関数が正であれば下に凸、負であれば上に凸です。変曲点は、二階導関数の符号が変わる点であり、二階導関数が0になる点である可能性があります。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9$ の場合:

まず、一階導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 12x$

次に、二階導関数を求めます。

$y'' = 6x - 12$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x - 12 = 0 \implies x = 2$

$x < 2$ のとき $y'' < 0$ であり、上に凸です。

$x > 2$ のとき $y'' > 0$ であり、下に凸です。

したがって、$x = 2$ で変曲点を持ちます。

$x=2$ のとき、$y = 2^3 - 6(2^2) + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$ です。

(2) $y = \sin x$ ($0 < x < 2\pi$) の場合:

一階導関数は、$y' = \cos x$

二階導関数は、$y'' = -\sin x$

$y'' = 0$ となる $x$ は、$\sin x = 0$ より、$x = \pi$ です。

$0 < x < \pi$ のとき $y'' < 0$ であり、上に凸です。

$\pi < x < 2\pi$ のとき $y'' > 0$ であり、下に凸です。

したがって、$x = \pi$ で変曲点を持ちます。

$x=\pi$ のとき、$y = \sin \pi = 0$ です。

(3) $y = 2xe^x$ の場合:

一階導関数は、$y' = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1+x)$

二階導関数は、$y'' = 2e^x(1+x) + 2e^x = 2e^x(2+x)$

$y'' = 0$ となる $x$ は、$2e^x(2+x) = 0$ より、$x = -2$ です。

$x < -2$ のとき $y'' < 0$ であり、上に凸です。

$x > -2$ のとき $y'' > 0$ であり、下に凸です。

したがって、$x = -2$ で変曲点を持ちます。

$x=-2$ のとき、$y = 2(-2)e^{-2} = -4e^{-2}$ です。

(4) $y = x^2 - \frac{2}{x}$ の場合:

一階導関数は、$y' = 2x + \frac{2}{x^2}$

二階導関数は、$y'' = 2 - \frac{4}{x^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ は、$2 - \frac{4}{x^3} = 0$ より、$2x^3 = 4$ なので、$x^3 = 2$ となり、$x = \sqrt[3]{2}$ です。

$x < \sqrt[3]{2}$ のとき $y'' < 0$ であり、上に凸です。

$x > \sqrt[3]{2}$ のとき $y'' > 0$ であり、下に凸です。ただし、$x=0$ は定義域に含まれません。

したがって、$x = \sqrt[3]{2}$ で変曲点を持ちます。

$x=\sqrt[3]{2}$ のとき、$y = (\sqrt[3]{2})^2 - \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = 2^{2/3} - 2^{2/3} = -2^{5/3} = 2^{2/3}-2^{2/3}\times 2 =2^{2/3}(1-2)= -2(\sqrt[3]{2})^2$です。

(5) $y = \frac{x^2+1}{x+1}$ の場合:

一階導関数は、$y' = \frac{2x(x+1) - (x^2+1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2}$

二階導関数は、$y'' = \frac{(2x+2)(x+1)^2 - 2(x+1)(x^2+2x-1)}{(x+1)^4} = \frac{(2x+2)(x+1)-2(x^2+2x-1)}{(x+1)^3} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - 2x^2 - 4x + 2}{(x+1)^3} = \frac{4}{(x+1)^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ は存在しませんが、$x = -1$ は定義域に含まれません。

$x < -1$ のとき $y'' < 0$ であり、上に凸です。

$x > -1$ のとき $y'' > 0$ であり、下に凸です。

したがって、変曲点はありません。

3. 最終的な答え

(1) 変曲点: $(2, -7)$

(2) 変曲点: $(\pi, 0)$

(3) 変曲点: $(-2, -4e^{-2})$

(4) 変曲点: $(\sqrt[3]{2}, -3\sqrt[3]{2})$

(5) 変曲点: なし