与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{8^n}$ が収束するかどうかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{8^n}$ が収束するかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

比判定法を用いて収束判定を行います。比判定法では、

$a_n = \frac{n^3}{8^n}$

とおき、

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

を計算します。$L < 1$ ならば級数は絶対収束し、$L > 1$ ならば級数は発散します。$L = 1$ の場合は、比判定法では判定できません。

まず、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{8^{n+1}}}{\frac{n^3}{8^n}} = \frac{(n+1)^3}{8^{n+1}} \cdot \frac{8^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{8^n}{8^{n+1}} = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3$$

次に、この比の極限を計算します。

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{8} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 = \frac{1}{8} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 = \frac{1}{8} (1+0)^3 = \frac{1}{8}$$

$L = \frac{1}{8} < 1$ なので、比判定法より、与えられた級数は絶対収束します。

3. 最終的な答え

収束する。