与えられた不等式を証明し、等号成立条件を求めます。今回は問題(4) $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \ge (\frac{a+b+c}{3})^2$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号成立条件を求めます。今回は問題(4)

$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \ge (\frac{a+b+c}{3})^2$

について解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に3^2 = 9を掛けます。すると、

$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

となります。

右辺を展開すると、

$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

となります。

これを整理すると、

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$

となります。

両辺を2で割ると、

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \ge 0$

となります。

さらに変形すると、

$\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) \ge 0$

$\frac{1}{2}((a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)) \ge 0$

$\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) \ge 0$

となります。

$(a-b)^2 \ge 0$, $(b-c)^2 \ge 0$, $(c-a)^2 \ge 0$であるから、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成立するのは、$a-b=0$, $b-c=0$, $c-a=0$、つまり、$a=b=c$のときです。

3. 最終的な答え

不等式$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \ge (\frac{a+b+c}{3})^2$は証明されました。

等号成立条件は $a=b=c$ です。