与えられた式を因数分解します。 (1) $x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3$ (2) $a^3 - 4a^2b + 12ab^2 - 27b^3$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。

(1) $x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3$

(2) $a^3 - 4a^2b + 12ab^2 - 27b^3$

2. 解き方の手順

(1) 式 $x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3$ を因数分解します。

式に $x = -2y$ を代入すると、

$(-2y)^3 - (-2y)^2y - 2(-2y)y^2 + 8y^3 = -8y^3 - 4y^3 + 4y^3 + 8y^3 = 0$

となるので、$x+2y$ はこの式の因数です。

組み立て除法を行うと、

$x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3 = (x+2y)(x^2 -3xy + 4y^2)$

となります。

(2) 式 $a^3 - 4a^2b + 12ab^2 - 27b^3$ を因数分解します。

式に $a = 3b$ を代入すると、

$(3b)^3 - 4(3b)^2b + 12(3b)b^2 - 27b^3 = 27b^3 - 36b^3 + 36b^3 - 27b^3 = 0$

となるので、$a-3b$ はこの式の因数です。

組み立て除法を行うと、

$a^3 - 4a^2b + 12ab^2 - 27b^3 = (a-3b)(a^2 - ab + 9b^2)$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y)(x^2 - 3xy + 4y^2)$

(2) $(a-3b)(a^2 - ab + 9b^2)$