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$$-(x^2 + 8x - 16 + y^2)$$

代数学因数分解二次式平方完成
2025/5/12
##

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。
(1) −x2−8x+16−y2-x^2 - 8x + 16 - y^2
(2) 9x2−4y2−6x+19x^2 - 4y^2 - 6x + 1
(3) a2+4b2−9c2−4aba^2 + 4b^2 - 9c^2 - 4ab
(4) 9x4−4x2+8xy−4y29x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2
##

2. 解き方の手順

**(1) −x2−8x+16−y2-x^2 - 8x + 16 - y^2**

1. まず、式を整理します。$x^2$の係数を正にするために、全体に$-1$をかけます。ただし、因数分解の結果に影響が出るため、最後に$-1$をかけることを忘れないようにします。

−(x2+8x−16+y2)-(x^2 + 8x - 16 + y^2)

2. $x$に関する部分を平方完成します。

−((x+4)2−16−16+y2)-( (x+4)^2 - 16 - 16 + y^2)
−((x+4)2−32+y2) -((x+4)^2 - 32 + y^2)
ただし、元の問題文は−x2−8x+16−y2-x^2 - 8x + 16 - y^2なので、以下のように平方完成します。
−(x2+8x)+16−y2-(x^2 + 8x) + 16 - y^2
−((x2+8x+16)−16)+16−y2-( (x^2 + 8x + 16) - 16 ) + 16 - y^2
−(x+4)2+16+16−y2-(x+4)^2 + 16 + 16 - y^2
32−(x+4)2−y232 - (x+4)^2 - y^2
−(x+4)2−y2+32-(x+4)^2 -y^2 + 32
これは因数分解できません。問題の転記ミスである可能性が高いです。正しくは −x2−8x−16−y2-x^2-8x-16-y^2ではないかと考えられます。
−x2−8x−16−y2=−(x2+8x+16)−y2=−(x+4)2−y2=−((x+4)2+y2)-x^2-8x-16-y^2 = -(x^2+8x+16) -y^2 = -(x+4)^2 - y^2 = -( (x+4)^2 + y^2) となります。
もし、−x2−8x+16−y2-x^2-8x+16-y^2　が正しいのであれば、
16−x2−8x−y2=16−(x2+8x+y2)=16−(x2+8x+16−16+y2)=16−((x+4)2−16+y2)=32−(x+4)2−y216-x^2-8x-y^2 = 16 - (x^2+8x+y^2) = 16- (x^2+8x+16-16+y^2) = 16 - ((x+4)^2-16+y^2) = 32 - (x+4)^2 - y^2
16−8x−x2−y216-8x-x^2-y^2 を因数分解するとしたら、
42−(x+4)2−y2=(4−x−4)(4+x+4)−y2=(−x)(x+8)−y2=−x2−8x−y24^2 - (x+4)^2 - y^2 = (4-x-4)(4+x+4)-y^2 = (-x)(x+8)-y^2 = -x^2-8x-y^2となり、因数分解できません。

3. ここでは、問題文が $-x^2-8x-16-y^2$ であると仮定して進めます。

−x2−8x−16−y2=−(x+4)2−y2=−((x+4)2+y2)-x^2-8x-16-y^2 = -(x+4)^2 -y^2 = -((x+4)^2 + y^2)
**(2) 9x2−4y2−6x+19x^2 - 4y^2 - 6x + 1**

1. 式を整理します。$x$に関する項をまとめます。

(9x2−6x+1)−4y2 (9x^2 - 6x + 1) - 4y^2

2. $x$に関する部分を平方完成します。

(3x−1)2−(2y)2 (3x - 1)^2 - (2y)^2

3. 二乗の差の形になったので、因数分解します。

((3x−1)+2y)((3x−1)−2y) ( (3x - 1) + 2y ) ( (3x - 1) - 2y )
(3x+2y−1)(3x−2y−1) (3x + 2y - 1) (3x - 2y - 1)
**(3) a2+4b2−9c2−4aba^2 + 4b^2 - 9c^2 - 4ab**

1. 式を整理します。

a2−4ab+4b2−9c2 a^2 - 4ab + 4b^2 - 9c^2

2. $a$と$b$に関する部分を平方完成します。

(a−2b)2−(3c)2 (a - 2b)^2 - (3c)^2

3. 二乗の差の形になったので、因数分解します。

((a−2b)+3c)((a−2b)−3c) ( (a - 2b) + 3c ) ( (a - 2b) - 3c )
(a−2b+3c)(a−2b−3c) (a - 2b + 3c) (a - 2b - 3c)
**(4) 9x4−4x2+8xy−4y29x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2**

1. 式を整理します。

9x4−4(x2−2xy+y2) 9x^4 - 4(x^2 - 2xy + y^2)

2. 括弧内を因数分解します。

9x4−4(x−y)2 9x^4 - 4(x - y)^2

3. 二乗の差の形にするために、$9x^4 = (3x^2)^2$であることを利用します。

(3x2)2−(2(x−y))2 (3x^2)^2 - (2(x - y))^2

4. 二乗の差の形になったので、因数分解します。

(3x2+2(x−y))(3x2−2(x−y)) ( 3x^2 + 2(x - y) ) ( 3x^2 - 2(x - y) )
(3x2+2x−2y)(3x2−2x+2y) (3x^2 + 2x - 2y) (3x^2 - 2x + 2y)
##

3. 最終的な答え

(1) −((x+4)2+y2)-( (x+4)^2 + y^2) （元の問題が −x2−8x−16−y2-x^2-8x-16-y^2 の場合）
(2) (3x+2y−1)(3x−2y−1)(3x + 2y - 1) (3x - 2y - 1)
(3) (a−2b+3c)(a−2b−3c)(a - 2b + 3c) (a - 2b - 3c)
(4) (3x2+2x−2y)(3x2−2x+2y)(3x^2 + 2x - 2y) (3x^2 - 2x + 2y)

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