等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_2 = 37$ かつ $\sum_{k=1}^{50} a_k = -500$ を満たすとき、$\sum_{k=1}^{50} |a_k|$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_2 = 37$ かつ $\sum_{k=1}^{50} a_k = -500$ を満たすとき、$\sum_{k=1}^{50} |a_k|$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおきます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

$a_2 = 37$ より、$a + d = 37$ が得られます。

次に、等差数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を用います。

$\sum_{k=1}^{50} a_k = \frac{50}{2}(2a + 49d) = 25(2a + 49d) = -500$

より、

$2a + 49d = -20$ が得られます。

$a+d = 37$ より、$2a+2d=74$ です。

$2a + 49d = -20$ から $2a + 2d = 74$ を引くと、$47d = -94$ となり、$d = -2$ が得られます。

これを $a + d = 37$ に代入すると、$a - 2 = 37$ より、$a = 39$ が得られます。

したがって、等差数列の一般項は $a_n = 39 + (n-1)(-2) = 39 - 2n + 2 = 41 - 2n$ となります。

$a_n = 41 - 2n = 0$ となる $n$ を求めると、$2n = 41$ より $n = 20.5$ となります。

$a_n$ は、$n \le 20$ で正の値を取り、$n \ge 21$ で負の値を取ります。

$\sum_{k=1}^{50} |a_k| = \sum_{k=1}^{20} a_k - \sum_{k=21}^{50} a_k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{20} a_k = \frac{20}{2}(2(39) + (20-1)(-2)) = 10(78 - 38) = 10(40) = 400$

$\sum_{k=1}^{50} a_k = -500$ より、

$\sum_{k=21}^{50} a_k = \sum_{k=1}^{50} a_k - \sum_{k=1}^{20} a_k = -500 - 400 = -900$

したがって、

$\sum_{k=1}^{50} |a_k| = \sum_{k=1}^{20} a_k - \sum_{k=21}^{50} a_k = 400 - (-900) = 400 + 900 = 1300$

3. 最終的な答え

1300