$\sqrt{28 + \sqrt{300}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{28 + \sqrt{300}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{28 + \sqrt{300}}$ を簡単にします。

$\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}$ なので、

$\sqrt{28 + \sqrt{300}} = \sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ となります。

次に、$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$ を $\sqrt{(x+y)^2}$ の形にできないか考えます。

$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{28 + 2\sqrt{75}}$ と変形します。

すると、$28 = x+y$, $75 = xy$ となる $x$ と $y$ を探せばよいことがわかります。

$x = 25$, $y = 3$ を考えると、$25 + 3 = 28$ かつ $25 \times 3 = 75$ となるので、$\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} = 5 + \sqrt{3}$ となります。

$\sqrt{3}$ は約 $1.732$ であるため、$5 + \sqrt{3} \approx 5 + 1.732 = 6.732$ となります。

したがって、$a = 6$ であり、$b = 5 + \sqrt{3} - 6 = \sqrt{3} - 1$ となります。

次に、$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1}$ に $a = 6$, $b = \sqrt{3}-1$ を代入します。

$\frac{1}{a+b+1} = \frac{1}{6 + (\sqrt{3} - 1) + 1} = \frac{1}{6 + \sqrt{3}}$

$\frac{1}{a-b-1} = \frac{1}{6 - (\sqrt{3} - 1) - 1} = \frac{1}{6 - \sqrt{3} + 1 - 1} = \frac{1}{6 - \sqrt{3}}$

したがって、

$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1} = \frac{1}{6 + \sqrt{3}} + \frac{1}{6 - \sqrt{3}}$

$\frac{1}{6 + \sqrt{3}} + \frac{1}{6 - \sqrt{3}} = \frac{(6 - \sqrt{3}) + (6 + \sqrt{3})}{(6 + \sqrt{3})(6 - \sqrt{3})} = \frac{12}{36 - 3} = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{11}$