数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列であるとき、以下の数列も等差数列であることを示せ。 (1) $\{3a_n - 2b_n\}$ (2) $\{a_{2n}\}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列であるとき、以下の数列も等差数列であることを示せ。

(1) $\{3a_n - 2b_n\}$

(2) $\{a_{2n}\}$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が等差数列であることから、それぞれ公差を $d_a$、$d_b$ とおくと、

$a_{n+1} = a_n + d_a$

$b_{n+1} = b_n + d_b$

と表せる。

数列 $\{3a_n - 2b_n\}$ について、

$3a_{n+1} - 2b_{n+1} = 3(a_n + d_a) - 2(b_n + d_b) = 3a_n - 2b_n + 3d_a - 2d_b$

したがって、数列 $\{3a_n - 2b_n\}$ の公差は $3d_a - 2d_b$ であり、等差数列である。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることから、公差を $d_a$ とおくと、

$a_{n+1} = a_n + d_a$

と表せる。

数列 $\{a_{2n}\}$ について、

$a_{2(n+1)} = a_{2n+2} = a_{2n} + 2d_a$

したがって、数列 $\{a_{2n}\}$ の公差は $2d_a$ であり、等差数列である。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{3a_n - 2b_n\}$ は等差数列である。

(2) 数列 $\{a_{2n}\}$ は等差数列である。