数列 $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{7}, x, y, \dots$ の各項の逆数をとった数列が等差数列となるとき、$x$, $y$ の値と、元の数列の一般項を求めよ。

## 問題210 (1)

1. 問題の内容

数列 $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{7}, x, y, \dots$ の各項の逆数をとった数列が等差数列となるとき、$x$, $y$ の値と、元の数列の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

元の数列の逆数をとった数列は $1, 4, 7, \dots$ である。

これは公差が $3$ の等差数列である。

よって、逆数をとった数列の一般項は

$a_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$

したがって、元の数列の一般項は

$b_n = \frac{1}{3n-2}$

$x$ は元の数列の第4項であるから、

$x = \frac{1}{3(4) - 2} = \frac{1}{12-2} = \frac{1}{10}$

$y$ は元の数列の第5項であるから、

$y = \frac{1}{3(5) - 2} = \frac{1}{15-2} = \frac{1}{13}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{10}$

$y = \frac{1}{13}$

元の数列の一般項: $b_n = \frac{1}{3n-2}$