次の4つの式を因数分解せよ。 (1) $-x^2 - 8x + 16 - y^2$ (2) $9x^2 - 4y^2 - 6x + 1$ (3) $a^2 + 4b^2 - 9c^2 - 4ab$ (4) $9x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2$

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解せよ。

(1) $-x^2 - 8x + 16 - y^2$

(2) $9x^2 - 4y^2 - 6x + 1$

(3) $a^2 + 4b^2 - 9c^2 - 4ab$

(4) $9x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2$

2. 解き方の手順

(1) $-x^2 - 8x + 16 - y^2$

まず、符号を調整します。

$-(x^2 + 8x - 16 + y^2)$

$-(x^2+8x+16 -32 + y^2)$

$-(x+4)^2 + 32 - y^2$

$32 - (x+4)^2 - y^2$

これは因数分解できません。問題文の書き間違いであると仮定して、$x^2$の係数を正とすると、

$x^2 - 8x + 16 - y^2 = (x-4)^2 - y^2 = (x-4+y)(x-4-y) = (x+y-4)(x-y-4)$

(2) $9x^2 - 4y^2 - 6x + 1$

$9x^2 - 6x + 1 - 4y^2 = (3x-1)^2 - (2y)^2 = (3x-1+2y)(3x-1-2y) = (3x+2y-1)(3x-2y-1)$

(3) $a^2 + 4b^2 - 9c^2 - 4ab$

$a^2 - 4ab + 4b^2 - 9c^2 = (a-2b)^2 - (3c)^2 = (a-2b+3c)(a-2b-3c)$

(4) $9x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2$

$9x^4 - (4x^2 - 8xy + 4y^2) = (3x^2)^2 - (2x-2y)^2 = (3x^2 + 2x - 2y)(3x^2 - 2x + 2y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-4)(x-y-4)$

(2) $(3x+2y-1)(3x-2y-1)$

(3) $(a-2b+3c)(a-2b-3c)$

(4) $(3x^2 + 2x - 2y)(3x^2 - 2x + 2y)$