与えられた式を計算して、簡略化します。式は次の通りです。 $\frac{x+2}{x^2-1} - \frac{x+5}{x^2+2x-3}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、簡略化します。式は次の通りです。

$\frac{x+2}{x^2-1} - \frac{x+5}{x^2+2x-3}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

与式は次のようになります。

$\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+5}{(x+3)(x-1)}$

次に、共通分母を求めます。共通分母は $(x-1)(x+1)(x+3)$ です。

各分数を共通分母で書き換えます。

$\frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)(x+1)(x+3)} - \frac{(x+5)(x+1)}{(x-1)(x+3)(x+1)}$

分子をそれぞれ展開します。

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$(x+5)(x+1) = x^2 + 6x + 5$

式は次のようになります。

$\frac{x^2 + 5x + 6}{(x-1)(x+1)(x+3)} - \frac{x^2 + 6x + 5}{(x-1)(x+3)(x+1)}$

分子を引き算します。

$(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 6x + 5) = x^2 + 5x + 6 - x^2 - 6x - 5 = -x + 1 = 1 - x = -(x-1)$

式は次のようになります。

$\frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+3)}$

$(x-1)$ で約分します。

$\frac{-1}{(x+1)(x+3)}$

分子を展開します。

$(x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3$

式は次のようになります。

$\frac{-1}{x^2 + 4x + 3}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1}{x^2 + 4x + 3}$

または

$-\frac{1}{x^2 + 4x + 3}$