与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を並び替えて、因数分解しやすい形にする。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = 4 - (x^2 - 2xy + 4y)$

$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$ を利用するために、与式を次のように変形する。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = 4 - (x^2 - 2xy + y^2) - 4y + y^2 = 4 - (x-y)^2 -4y + y^2$.

ここから、少し見方を変えて、まず符号を反転して、

$-(x^2-2xy+y^2)+4-4y+y^2 = -(x^2 -2xy +y^2)+(4-4y+y^2)$.

この二つの括弧の中身がそれぞれ平方の形になっていることに注目する。

$-(x-y)^2 + (2-y)^2$

ここで $A = (2-y), B=(x-y)$ とすると、$A^2-B^2$ の形となるので、$A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$を利用する。

$(2-y - (x-y)) (2-y + (x-y)) = (2-y-x+y)(2-y+x-y) = (2-x)(2+x-2y)$

したがって、

$4 - 4y + 2xy - x^2 = (2-x)(2+x-2y)$

3. 最終的な答え

$(2-x)(2+x-2y)$