与えられた式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 - 9x^2 + 16$ (2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 - 9x^2 + 16$

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 9x^2 + 16$ の因数分解

与えられた式を平方の差の形に変形します。

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2 = (x^2 + 4)^2 - (x\sqrt{17})^2$ では平方の差にならないので、

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$ ではなく、

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 17x^2$

$x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 - 17x^2$

ではない。

$x^4 - 9x^2 + 16$

$= (x^4 + 8x^2 + 16) - 17x^2$　ではない。

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 17x^2$

$= (x^2 + 4)^2 - 17x^2$

$= (x^2 + 4)^2 - (x\sqrt{17})^2$　ではない。

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 17x^2$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2 - (17x^2)$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^4 - 8x^2 + 16) - x^2$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 - x^2$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 - 4 + x)(x^2 - 4 - x)$

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ の因数分解

与えられた式を平方の差の形に変形します。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^4 - 2x^2y^2 + y^4) - 9x^2y^2$

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2$

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2 + 3xy)(x^2 - y^2 - 3xy)$

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + x - 4)(x^2 - x - 4)$

(2) $(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$