ド・モアブルの定理を用いて、以下の等式を証明する。 (1) $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$, $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ (2) $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$, $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

1. 問題の内容

ド・モアブルの定理を用いて、以下の等式を証明する。

(1) $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$, $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

(2) $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$, $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理は、整数 $n$ に対して $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ が成り立つというものです。

(1) $n=2$ の場合を考えます。

$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta - \sin^2\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + i(2\sin\theta\cos\theta)$

ド・モアブルの定理より、

$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos 2\theta + i\sin 2\theta$

実部と虚部を比較すると、

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$

が導かれます。

(2) $n=3$ の場合を考えます。

$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta = (\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta) + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta)$

ド・モアブルの定理より、

$(\cos\theta +i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$

実部と虚部を比較すると、

$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta + 3\cos^3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

$\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3(1-\sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 3\sin^3\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$

が導かれます。

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$, $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

(2) $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$, $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$