与えられた式 $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3 = x^2 + (2a + 4)x + (-3a^2 + 8a + 3)$

次に、$x$ を含まない部分（定数項）$-3a^2 + 8a + 3$ を因数分解します。

$-3a^2 + 8a + 3 = -(3a^2 - 8a - 3) = -(3a + 1)(a - 3) = (3a + 1)(3 - a)$

元の式を因数分解できると仮定すると、

$(x + A)(x + B) = x^2 + (A + B)x + AB$

ここで、$A + B = 2a + 4$ かつ $AB = (3a + 1)(3 - a)$ となる $A$ と $B$ を見つけます。

$A$ と $B$ は $3a + 1$ と $3 - a$ の定数倍であると予想されます。

$A = k(3a+1)$ かつ $B = \frac{1}{k}(3-a)$と置くと、

$A+B = k(3a+1) + \frac{1}{k}(3-a) = 2a + 4$

$k=1$ の場合、$3a+1+3-a=2a+4$となり、これは成り立ちます。

したがって、$A = 3a + 1$ と $B = 3 - a$ とすると、

$(x + (3a + 1))(x + (3 - a)) = x^2 + (3a + 1 + 3 - a)x + (3a + 1)(3 - a)$

$= x^2 + (2a + 4)x + (-3a^2 + 8a + 3)$

となり、元の式と一致します。

したがって、$x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3 = (x + 3a + 1)(x - a + 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 3a + 1)(x - a + 3)$