与えられた式 $abc + (a+b)(b+c)(c+a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $abc + (a+b)(b+c)(c+a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

\begin{align*}

(a+b)(b+c)(c+a) &= (a+b)(bc + ba + c^2 + ca) \\

&= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc \\

&= 2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2

\end{align*}

したがって、与えられた式は

\begin{align*}

abc + (a+b)(b+c)(c+a) &= abc + 2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 \\

&= 3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2

\end{align*}

次に、この式を整理して因数分解しやすい形にします。

$a$ について降べきの順に整理すると、

\begin{align*}

&3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 \\

&= (b+c)a^2 + (3bc + b^2 + c^2)a + bc(b+c)

\end{align*}

ここで、$3bc + b^2 + c^2 = b^2 + 2bc + c^2 + bc = (b+c)^2 + bc$ より

\begin{align*}

(b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + bc(b+c) &= (b+c)[a^2 + \frac{(b+c)^2+bc}{b+c}a + bc] \\

&= (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2 + bc)a + b^2c + bc^2 \\

&= (b+c) a^2 + (b^2 + c^2 + 3bc)a + bc(b+c) \\

&= (a+b)(a+c)(b+c) + abc \\

&= (a+b)(b+c)(c+a) + abc

\end{align*}

ここで、与えられた式は $abc + (a+b)(b+c)(c+a)$ なので、

$abc + (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

展開すると

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc = a^2b+a^2c+ab^2+2abc+ac^2+b^2c+bc^2$

$abc + (a+b)(b+c)(c+a) = a^2b+a^2c+ab^2+3abc+ac^2+b^2c+bc^2$

ここで因数分解を試みる。

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc+ba+c^2+ca) + abc = abc + a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc + abc = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 + 3abc$

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c)+a(b+c)^2+abc+abc = (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2+bc)a + bc(b+c) =(b+c)(a^2+(b+c)a)+bc(a+bc) = (b+c)(a(a+b+c)) + bc(b+c) =(a+b+c)(ab+ac+bc)$

与式を因数分解すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc =(a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$