与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、$a$ について整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (b^2 - c^2)a + (c^2 - b^2)a + bc^2 - cb^2$

$= -a^2(b-c) + a(b^2 - c^2) + bc^2 - b^2c$

$= -a^2(b-c) + a(b+c)(b-c) -bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくります。

$(b-c)(-a^2 + a(b+c) - bc) = (b-c)(-a^2 + ab + ac - bc)$

さらに $-a^2 + ab + ac - bc$ を因数分解します。

$-a^2 + ab + ac - bc = -a(a - b) + c(a - b) = (a - b)(-a + c) = -(a-b)(a-c)$

したがって、

$(b-c)(-a^2 + ab + ac - bc) = -(b-c)(a-b)(a-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$