2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D$ が $D<0$ となることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$ で求められます。

与えられた2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ について、$a = 1$, $b = -4$, $c = m + 8$ なので、判別式 $D$ は

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 8)$

$D = 16 - 4(m + 8)$

$D = 16 - 4m - 32$

$D = -4m - 16$

実数解を持たない条件 $D < 0$ より、

$-4m - 16 < 0$

$-4m < 16$

$m > -4$

3. 最終的な答え

$m > -4$