2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式が実数解をもたないための条件は、判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ は、$ax^2 + bx + c = 0$ という一般形において、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の問題では、$a = 1$, $b = -4$, $c = m + 8$ です。

したがって、判別式 $D$ は

$D = (-4)^2 - 4(1)(m + 8)$

$D = 16 - 4m - 32$

$D = -4m - 16$

実数解をもたない条件は $D < 0$ ですので、

$-4m - 16 < 0$

$-4m < 16$

両辺を $-4$ で割ると (負の数で割るので不等号の向きが変わります),

$m > -4$

3. 最終的な答え

$m > -4$