二項定理を利用して、以下の式を展開せよ。 (1) $(a+3b)^5$ (2) $(x-2)^6$ (3) $(2x-y)^5$ (4) $(3x-2y)^4$

1. 問題の内容

二項定理を利用して、以下の式を展開せよ。

(1) $(a+3b)^5$

(2) $(x-2)^6$

(3) $(2x-y)^5$

(4) $(3x-2y)^4$

2. 解き方の手順

二項定理は、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ で表されます。ここで $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

(1) $(a+3b)^5$ の展開

$n=5$, $a=a$, $b=3b$ を二項定理の式に代入します。

$(a+3b)^5 = \binom{5}{0} a^5 (3b)^0 + \binom{5}{1} a^4 (3b)^1 + \binom{5}{2} a^3 (3b)^2 + \binom{5}{3} a^2 (3b)^3 + \binom{5}{4} a^1 (3b)^4 + \binom{5}{5} a^0 (3b)^5$

二項係数を計算します。

$\binom{5}{0} = 1$

$\binom{5}{1} = 5$

$\binom{5}{2} = 10$

$\binom{5}{3} = 10$

$\binom{5}{4} = 5$

$\binom{5}{5} = 1$

$(a+3b)^5 = 1 \cdot a^5 \cdot 1 + 5 \cdot a^4 \cdot (3b) + 10 \cdot a^3 \cdot (9b^2) + 10 \cdot a^2 \cdot (27b^3) + 5 \cdot a \cdot (81b^4) + 1 \cdot 1 \cdot (243b^5)$

$(a+3b)^5 = a^5 + 15a^4b + 90a^3b^2 + 270a^2b^3 + 405ab^4 + 243b^5$

(2) $(x-2)^6$ の展開

$n=6$, $a=x$, $b=-2$ を二項定理の式に代入します。

$(x-2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-2)^k$

$(x-2)^6 = \binom{6}{0} x^6 (-2)^0 + \binom{6}{1} x^5 (-2)^1 + \binom{6}{2} x^4 (-2)^2 + \binom{6}{3} x^3 (-2)^3 + \binom{6}{4} x^2 (-2)^4 + \binom{6}{5} x^1 (-2)^5 + \binom{6}{6} x^0 (-2)^6$

二項係数を計算します。

$\binom{6}{0} = 1$

$\binom{6}{1} = 6$

$\binom{6}{2} = 15$

$\binom{6}{3} = 20$

$\binom{6}{4} = 15$

$\binom{6}{5} = 6$

$\binom{6}{6} = 1$

$(x-2)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-2) + 15 \cdot x^4 \cdot 4 + 20 \cdot x^3 \cdot (-8) + 15 \cdot x^2 \cdot 16 + 6 \cdot x \cdot (-32) + 1 \cdot 1 \cdot 64$

$(x-2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$

(3) $(2x-y)^5$ の展開

$n=5$, $a=2x$, $b=-y$ を二項定理の式に代入します。

$(2x-y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-y)^k$

$(2x-y)^5 = \binom{5}{0} (2x)^5 (-y)^0 + \binom{5}{1} (2x)^4 (-y)^1 + \binom{5}{2} (2x)^3 (-y)^2 + \binom{5}{3} (2x)^2 (-y)^3 + \binom{5}{4} (2x)^1 (-y)^4 + \binom{5}{5} (2x)^0 (-y)^5$

二項係数は(1)で計算済みです。

$(2x-y)^5 = 1 \cdot (32x^5) \cdot 1 + 5 \cdot (16x^4) \cdot (-y) + 10 \cdot (8x^3) \cdot (y^2) + 10 \cdot (4x^2) \cdot (-y^3) + 5 \cdot (2x) \cdot (y^4) + 1 \cdot 1 \cdot (-y^5)$

$(2x-y)^5 = 32x^5 - 80x^4y + 80x^3y^2 - 40x^2y^3 + 10xy^4 - y^5$

(4) $(3x-2y)^4$ の展開

$n=4$, $a=3x$, $b=-2y$ を二項定理の式に代入します。

$(3x-2y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3x)^{4-k} (-2y)^k$

$(3x-2y)^4 = \binom{4}{0} (3x)^4 (-2y)^0 + \binom{4}{1} (3x)^3 (-2y)^1 + \binom{4}{2} (3x)^2 (-2y)^2 + \binom{4}{3} (3x)^1 (-2y)^3 + \binom{4}{4} (3x)^0 (-2y)^4$

二項係数を計算します。

$\binom{4}{0} = 1$

$\binom{4}{1} = 4$

$\binom{4}{2} = 6$

$\binom{4}{3} = 4$

$\binom{4}{4} = 1$

$(3x-2y)^4 = 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (-2y) + 6 \cdot (9x^2) \cdot (4y^2) + 4 \cdot (3x) \cdot (-8y^3) + 1 \cdot 1 \cdot (16y^4)$

$(3x-2y)^4 = 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$

3. 最終的な答え

(1) $(a+3b)^5 = a^5 + 15a^4b + 90a^3b^2 + 270a^2b^3 + 405ab^4 + 243b^5$

(2) $(x-2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$

(3) $(2x-y)^5 = 32x^5 - 80x^4y + 80x^3y^2 - 40x^2y^3 + 10xy^4 - y^5$

(4) $(3x-2y)^4 = 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$