$\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$, $-\pi \leq \alpha < \pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$, $-\pi \leq \alpha < \pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$r\sin(\theta + \alpha)$ を加法定理を使って展開します。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = r\cos\alpha\sin\theta + r\sin\alpha\cos\theta$

与えられた式と比較して、

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$

$r\sin\alpha = 3$

これらの式から、$r$ と $\alpha$ を求めます。

まず、$r^2$ を求めます。

$r^2 = (r\cos\alpha)^2 + (r\sin\alpha)^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$

$r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (ただし、$r>0$)

次に、$\alpha$ を求めます。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{3}{r} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

この値は $-\pi \leq \alpha < \pi$ の範囲にあります。

3. 最終的な答え

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta = 2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ となります。

$2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$