アルゴンガスを2000 cm³ から 500 cm³ まで圧縮し、同時に300 Kから400 Kまで加熱したときのモルエントロピーの変化を計算する問題です。定積モル熱容量 $C_{V,m}$ は $\frac{3}{2}R$ で与えられています。ここでRは気体定数です。有効数字3桁で解答する必要があります。

1. 問題の内容

アルゴンガスを2000 cm³ から 500 cm³ まで圧縮し、同時に300 Kから400 Kまで加熱したときのモルエントロピーの変化を計算する問題です。定積モル熱容量 $C_{V,m}$ は $\frac{3}{2}R$ で与えられています。ここでRは気体定数です。有効数字3桁で解答する必要があります。

2. 解き方の手順

モルエントロピーの変化 $\Delta S_m$ は、以下の式で表されます。

$\Delta S_m = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_{V,m}}{T} dT + \int_{V_1}^{V_2} \frac{R}{V} dV$

ここで、$T_1$は初期温度、$T_2$は最終温度、$V_1$は初期体積、$V_2$は最終体積です。

$C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ を代入すると、

$\Delta S_m = \int_{T_1}^{T_2} \frac{\frac{3}{2}R}{T} dT + \int_{V_1}^{V_2} \frac{R}{V} dV$

$\Delta S_m = \frac{3}{2}R \int_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T} dT + R \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} dV$

$\Delta S_m = \frac{3}{2}R \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

与えられた値を代入します。$T_1 = 300 \text{ K}$, $T_2 = 400 \text{ K}$, $V_1 = 2000 \text{ cm}^3$, $V_2 = 500 \text{ cm}^3$, $R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln\left(\frac{400}{300}\right) + 8.314 \times \ln\left(\frac{500}{2000}\right)$

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln\left(\frac{4}{3}\right) + 8.314 \times \ln\left(\frac{1}{4}\right)$

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln\left(\frac{4}{3}\right) - 8.314 \times \ln(4)$

$\Delta S_m = 1.5 \times 8.314 \times 0.28768 - 8.314 \times 1.38629$

$\Delta S_m = 3.58 - 11.52$

$\Delta S_m \approx -7.94 \text{ J/(mol K)}$

3. 最終的な答え

-7.94 J/(mol K)