与えられた6つの式を因数分解します。 (1) $3x^2 + 4xy + y^2$ (2) $2x^2 + 7x + 3$ (3) $3a^2 + a - 10$ (4) $2x^2 - 5ax + 2a^2$ (5) $4x^2 + 8ax - 21a^2$ (6) $6x^2 + 17xy - 14y^2$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解します。

(1) $3x^2 + 4xy + y^2$

(2) $2x^2 + 7x + 3$

(3) $3a^2 + a - 10$

(4) $2x^2 - 5ax + 2a^2$

(5) $4x^2 + 8ax - 21a^2$

(6) $6x^2 + 17xy - 14y^2$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 + 4xy + y^2$

この式は $(ax+by)(cx+dy)$ の形に因数分解できると考えられます。

$ac = 3$ と $bd = 1$ と $ad + bc = 4$ を満たす $a, b, c, d$ を探します。

$a=3, c=1, b=1, d=1$ とすると、$ad + bc = 3 + 1 = 4$ となり条件を満たします。

したがって、 $3x^2 + 4xy + y^2 = (3x+y)(x+y)$.

(2) $2x^2 + 7x + 3$

この式も $(ax+b)(cx+d)$ の形に因数分解できると考えられます。

$ac = 2$ と $bd = 3$ と $ad + bc = 7$ を満たす $a, b, c, d$ を探します。

$a=2, c=1, b=1, d=3$ とすると、$ad + bc = 6 + 1 = 7$ となり条件を満たします。

したがって、 $2x^2 + 7x + 3 = (2x+1)(x+3)$.

(3) $3a^2 + a - 10$

この式も $(xa+b)(ya+c)$ の形に因数分解できると考えられます。

$xy = 3$ と $bc = -10$ と $xc + yb = 1$ を満たす $x, y, b, c$ を探します。

$x=3, y=1, b=-5, c=2$ とすると、$xc + yb = 6 - 5 = 1$ となり条件を満たします。

したがって、 $3a^2 + a - 10 = (3a - 5)(a + 2)$.

(4) $2x^2 - 5ax + 2a^2$

この式も $(px+qa)(rx+sa)$ の形に因数分解できると考えられます。

$pr = 2$ と $qs = 2$ と $ps + qr = -5$ を満たす $p, q, r, s$ を探します。

$p=2, r=1, q=-1, s=-2$ とすると、$ps + qr = -4 - 1 = -5$ となり条件を満たします。

したがって、 $2x^2 - 5ax + 2a^2 = (2x - a)(x - 2a)$.

(5) $4x^2 + 8ax - 21a^2$

この式も $(mx+na)(ox+pa)$ の形に因数分解できると考えられます。

$mo = 4$ と $np = -21$ と $mp + no = 8$ を満たす $m, n, o, p$ を探します。

$m=2, o=2, n=-3, p=7$ とすると、$mp + no = 14 - 6 = 8$ となり条件を満たします。

したがって、 $4x^2 + 8ax - 21a^2 = (2x - 3a)(2x + 7a)$.

(6) $6x^2 + 17xy - 14y^2$

この式も $(ux+vy)(wx+zy)$ の形に因数分解できると考えられます。

$uw = 6$ と $vz = -14$ と $uz + vw = 17$ を満たす $u, v, w, z$ を探します。

$u=2, w=3, v=7, z=-2$ とすると、$uz + vw = -4 + 21 = 17$ となり条件を満たします。

したがって、 $6x^2 + 17xy - 14y^2 = (2x + 7y)(3x - 2y)$.

3. 最終的な答え

(1) $(3x+y)(x+y)$

(2) $(2x+1)(x+3)$

(3) $(3a - 5)(a + 2)$

(4) $(2x - a)(x - 2a)$

(5) $(2x - 3a)(2x + 7a)$

(6) $(2x + 7y)(3x - 2y)$