以下の3つの式を因数分解します。 (1) $x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2$ (2) $2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$ (3) $3x^2 - 2xy - y^2 - 11x - y + 6$

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解します。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2$

(2) $2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$

(3) $3x^2 - 2xy - y^2 - 11x - y + 6$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2$ を因数分解する。

まず、$x$ について整理すると、

$x^2 + (3y - 1)x + (2y^2 - 3y - 2)$

$2y^2 - 3y - 2$ を因数分解すると、$(2y + 1)(y - 2)$ となる。

よって、与式は $x^2 + (3y - 1)x + (2y + 1)(y - 2)$ となる。

$(x + 2y + 1)(x + y - 2)$ と因数分解できるか試す。

$(x + 2y + 1)(x + y - 2) = x^2 + xy - 2x + 2xy + 2y^2 - 4y + x + y - 2 = x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2$

よって、$(x + 2y + 1)(x + y - 2)$ が答えである。

(2) $2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$ を因数分解する。

まず、$x$ について整理すると、

$2x^2 + (y + 4)x + (-y^2 + y + 2)$

$-y^2 + y + 2$ を因数分解すると、$-(y^2 - y - 2) = -(y - 2)(y + 1) = (2 - y)(y + 1)$ となる。

よって、与式は $2x^2 + (y + 4)x + (2 - y)(y + 1)$ となる。

$(2x - y + 2)(x + y + 1)$ と因数分解できるか試す。

$(2x - y + 2)(x + y + 1) = 2x^2 + 2xy + 2x - xy - y^2 - y + 2x + 2y + 2 = 2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$

よって、$(2x - y + 2)(x + y + 1)$ が答えである。

(3) $3x^2 - 2xy - y^2 - 11x - y + 6$ を因数分解する。

まず、$x$ について整理すると、

$3x^2 - (2y + 11)x + (-y^2 - y + 6)$

$-y^2 - y + 6$ を因数分解すると、$-(y^2 + y - 6) = -(y + 3)(y - 2) = (-y + 2)(y + 3)$ となる。

よって、与式は $3x^2 - (2y + 11)x + (2 - y)(y + 3)$ となる。

$(3x + y - 2)(x - y - 3)$ と因数分解できるか試す。

$(3x + y - 2)(x - y - 3) = 3x^2 - 3xy - 9x + xy - y^2 - 3y - 2x + 2y + 6 = 3x^2 - 2xy - y^2 - 11x - y + 6$

よって、$(3x + y - 2)(x - y - 3)$ が答えである。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2y + 1)(x + y - 2)$

(2) $(2x - y + 2)(x + y + 1)$

(3) $(3x + y - 2)(x - y - 3)$