次の式を因数分解しなさい。 (1) $x^4 + 4$ (2) $x^4 - 15x^2 + 9$ (3) $x^4 + 2x^2 + 9$

はい、承知いたしました。以下の問題について、因数分解を行います。

1. 問題の内容

次の式を因数分解しなさい。

(1) $x^4 + 4$

(2) $x^4 - 15x^2 + 9$

(3) $x^4 + 2x^2 + 9$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 4$

この式に $4x^2$ を加えて引くことで、平方の差の形を作ります。

$x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$

平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2+2x)(x^2+2-2x) = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

(2) $x^4 - 15x^2 + 9$

同様に、平方の差の形を作ります。

$x^4 - 6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2$ です。

ここで $x^4 - 15x^2 + 9 = x^4 - 6x^2 + 9 - 9x^2 = (x^2 - 3)^2 - (3x)^2$ と変形します。

平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$(x^2-3)^2 - (3x)^2 = (x^2-3+3x)(x^2-3-3x) = (x^2+3x-3)(x^2-3x-3)$

(3) $x^4 + 2x^2 + 9$

$x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = (x^2+3)^2 - (2x)^2$

平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$(x^2+3)^2 - (2x)^2 = (x^2+3+2x)(x^2+3-2x) = (x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

(2) $(x^2+3x-3)(x^2-3x-3)$

(3) $(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$