右の表はある規則に従って自然数を並べたものである。 図のような3つの自然数 $a$, $b$, $c$ の組について、$bc - a^2$ の値が9の倍数になることを $a$ を用いて説明する。

1. 問題の内容

右の表はある規則に従って自然数を並べたものである。

図のような3つの自然数 $a$, $b$, $c$ の組について、$bc - a^2$ の値が9の倍数になることを $a$ を用いて説明する。

2. 解き方の手順

表を見ると、$a$ から $b$ は3大きい数、$c$ は $b$ から3大きい数であることがわかる。

したがって、$b = a + 3$、$c = b + 3 = (a + 3) + 3 = a + 6$ と表せる。

このとき、$bc - a^2$ は、

$bc - a^2 = (a+3)(a+6) - a^2$

$= a^2 + 6a + 3a + 18 - a^2$

$= 9a + 18$

$= 9(a + 2)$

$a+2$ は整数なので、$9(a+2)$ は9の倍数である。

したがって、$bc - a^2$ は9の倍数である。

3. 最終的な答え

$bc-a^2 = 9(a+2)$ と表せるので、$bc-a^2$ は9の倍数である。