行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、$A(2B + 4C) - 3A(B + C)$ を計算せよ。

はい、承知いたしました。線形代数の中間試験の問題を解いていきます。

**問題1**

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、$A(2B + 4C) - 3A(B + C)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$2B + 4C$ と $B + C$ を計算します。

$2B = 2\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$

$4C = 4\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix}$

$2B + 4C = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -2 & 10 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$

$B + C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

次に、$A(2B + 4C)$ と $3A(B + C)$ を計算します。

$A(2B + 4C) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -2 & 10 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8+0-4 & 6+0-4 \\ 0+2-2 & 0-10-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -12 \end{bmatrix}$

$3A(B + C) = 3\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 3+0+0 & 2+0-2 \\ 0+1+0 & 0-4-1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 3 & -15 \end{bmatrix}$

最後に、$A(2B + 4C) - 3A(B + C)$ を計算します。

$A(2B + 4C) - 3A(B + C) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 3 & -15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-9 & 2-0 \\ 0-3 & -12-(-15) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A(2B + 4C) - 3A(B + C) = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}$

**問題2**

1. 問題の内容

連立一次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 1 \\ -2 & 6 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 4 & 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{bmatrix}$

を解け。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を拡大行列で表現し、行基本変形を行う。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 2 & 1 & 1 \\ -2 & 6 & -1 & 4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 & 11 & -7 \end{array} \right]$

2行目に1行目の2倍を加える。

3行目に1行目を加える。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 6 & 12 & -6 \end{array} \right]$

2行目を3で割る。

3行目を6で割る。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \end{array} \right]$

3行目から2行目を引く。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

1行目から2行目の2倍を引く。

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

したがって、

$x_1 - 3x_2 - 3x_4 = 3$

$x_3 + 2x_4 = -1$

$x_1 = 3x_2 + 3x_4 + 3$

$x_3 = -2x_4 - 1$

$x_2 = s$, $x_4 = t$ とおくと、

$x_1 = 3s + 3t + 3$

$x_2 = s$

$x_3 = -2t - 1$

$x_4 = t$

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

**問題3**

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ が正則かどうかを調べ、正則なら $A^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = 2(1\cdot 2 - (-1)\cdot(-1)) - 3(1\cdot 2 - (-1)\cdot(-1)) + 1(1\cdot(-1) - 1\cdot(-1)) = 2(2 - 1) - 3(2 - 1) + 1(-1 + 1) = 2(1) - 3(1) + 1(0) = 2 - 3 + 0 = -1$

$\det(A) = -1 \neq 0$ なので、$A$ は正則です。

次に、$A^{-1}$ を計算します。

$A$ の余因子行列を $C$ とします。

$C_{11} = (1)(2) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1$

$C_{12} = -(1(2) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1$

$C_{13} = (1)(-1) - (1)(-1) = -1 + 1 = 0$

$C_{21} = -(3(2) - 1(-1)) = -(6 + 1) = -7$

$C_{22} = (2)(2) - (1)(-1) = 4 + 1 = 5$

$C_{23} = -(2(-1) - 3(-1)) = -(-2 + 3) = -1$

$C_{31} = (3)(-1) - (1)(1) = -3 - 1 = -4$

$C_{32} = -(2(-1) - 1(1)) = -(-2 - 1) = 3$

$C_{33} = (2)(1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1$

$C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -7 & 5 & -1 \\ -4 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -7 & -4 \\ -1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 7 & 4 \\ 1 & -5 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A$ は正則であり、$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 7 & 4 \\ 1 & -5 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

**問題4**

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{bmatrix}$, $c = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ k \end{bmatrix}$ (ただし $k$ は実数) とする。実数 $x, y, z$ についての方程式 $xa + yb + zc = 0$ が $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$ 以外の解を持つとき、実数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$xa + yb + zc = 0$ は次のように書き換えられます。

$x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは次の連立一次方程式に対応します。

$x + z = 0$

$x + ky = 0$

$2x + y + kz = 0$

この連立一次方程式が自明な解以外の解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0であることです。

係数行列は $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & k & 0 \\ 2 & 1 & k \end{bmatrix}$

$\det(A) = 1(k \cdot k - 0 \cdot 1) - 0(1 \cdot k - 0 \cdot 2) + 1(1 \cdot 1 - k \cdot 2) = k^2 + 1 - 2k = k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2$

$\det(A) = 0$ となるのは $(k - 1)^2 = 0$ のとき、すなわち $k = 1$ のときです。

3. 最終的な答え

$k = 1$

**問題5**

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次の正方行列、$E$ を $n$ 次の単位行列とする。もし $A$ も $A+E$ も正則ならば、$A^{-1} + E$ も正則であることを示せ。

2. 解き方の手順

$A$ と $A+E$ が正則であると仮定します。

$A^{-1} + E$ が正則であることを示すには、ある行列 $B$ が存在して $(A^{-1} + E)B = E$ となることを示せば良いです。

$(A^{-1} + E)^{-1}$ を求めます。

$(A^{-1} + E) = A^{-1}(E + A)$ と書き換えられます。

ここで、$A$ と $A+E$ は正則なので、$A^{-1}$ と $(A+E)$ も正則です。

したがって、$A^{-1} + E$ も正則であり、$(A^{-1} + E)^{-1} = (A^{-1}(E + A))^{-1} = (E + A)^{-1}(A^{-1})^{-1} = (E + A)^{-1} A$

$(A^{-1} + E)^{-1} = (A+E)^{-1}A$ なので、

$(A^{-1} + E)(A+E)^{-1}A = A^{-1}A + (A+E)^{-1}A = E$ となることを示せば良い。

$A^{-1}+E$が正則であることを示すために、$A(A^{-1}+E)$が正則であることを示す。

$A(A^{-1}+E) = AA^{-1}+AE = E+A$であり、$A+E$は正則である。

したがって、$A(A^{-1}+E)$は正則であり、$A$も正則なので、$A^{-1}+E$も正則である。

3. 最終的な答え

$A$ も $A+E$ も正則ならば、$A^{-1} + E$ も正則である。