与えられた8つの式をそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた8つの式をそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + (2y - 1)x + y(y - 1)$

定数項に着目して、$y$ と $y-1$ の和が $2y-1$ になることに気づく。したがって、

$x^2 + (2y - 1)x + y(y - 1) = (x + y)(x + y - 1)$

(2) $x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y - 3)$

定数項に着目して、$y+4$ と $2y-3$ の和が $3y+1$ になることに気づく。したがって、

$x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y - 3) = (x + y + 4)(x + 2y - 3)$

(3) $abx^2 + (a^2 + b^2)x + ab$

$abx^2 + a^2x + b^2x + ab = ax(bx + a) + b(bx + a) = (ax + b)(bx + a)$

(4) $x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3$

まず、$x^2 - xy - 2y^2 = (x-2y)(x+y)$ である。

$x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3 = (x - 2y)(x + y) + 2x - 7y - 3$

$(x-2y+A)(x+y+B)$ とおくと、$A+B = 2$、$B - 2A = -7$、$AB = -3$ となる。

$B = 2 - A$ を $B - 2A = -7$ に代入すると、 $2 - A - 2A = -7$ より、 $3A = 9$ つまり $A=3$。したがって、$B = -1$。

$(x - 2y + 3)(x + y - 1)$

(5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 5x - 7y + 6$

$x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y)$

$(x - y + A)(x - 2y + B)$ とおくと、$A+B = 5$、 $-2A - B = -7$、$AB = 6$ となる。

$B = 5 - A$ を $-2A - B = -7$ に代入すると、$-2A - (5 - A) = -7$ より $-A = -2$ つまり $A=2$。したがって、$B = 3$。

$(x - y + 2)(x - 2y + 3)$

(6) $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$

$2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$

$(2x + y + A)(x - 2y + B)$ とおくと、$2B + A = 5$、 $-4A + B = 5$、$AB = -3$。

$A = 5 - 2B$ を $-4A + B = 5$ に代入すると、 $-4(5 - 2B) + B = 5$ より $-20 + 8B + B = 5$ つまり $9B = 25$。これは整数にならないので、別の組み合わせを試す。

$(2x + y + A)(x - 2y + B)$ で、AとBが整数の解を求める。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y + A)(x - 2y + B) = 2x^2 -3xy - 2y^2 + (2B+A)x + (B-2A)y + AB$

$2B+A = 5$ および $B-2A = 5$. よって $2B + A = 5$ から $A = 5 - 2B$. これを $B - 2A = 5$ に代入すると $B - 2(5 - 2B) = 5$, つまり $B - 10 + 4B = 5$ よって $5B = 15$, $B = 3$. したがって $A = 5 - 2(3) = -1$. よって$AB = (3)(-1) = -3$.

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

(7) $6x^2 + xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

$6x^2 + xy - 6y^2 = (2x + 3y)(3x - 2y)$

$(2x + 3y + A)(3x - 2y + B)$ とおくと、$3A - 2B = 1$、$2B + 3A = -5$、$AB = -1$。

$A = -1/B$ を $3A - 2B = 1$ に代入すると $-3/B - 2B = 1$ より $-3 - 2B^2 = B$ つまり $2B^2 + B + 3 = 0$。

これは実数解を持たないので、係数に誤りがあるか、整数解を持たない。

$6x^2 + xy - 6y^2 + x - 5y - 1 = (2x+3y+a)(3x-2y+b) = 6x^2+xy-6y^2 + (3a+2b)x + (-2a+3b)y + ab$

$3a-2b=1$, $-2a+3b=-5$, $ab=-1$.

$3a-2b=1$, $-2a+3b=-5$ を解くと、$9a-6b=3$, $-4a+6b=-10$. よって $5a=-7$, $a=-7/5$ よって $ab=-1$より$b=5/7$.

(8) $10x^2 + 11xy - 6y^2 - x - 11y - 3$

$10x^2 + 11xy - 6y^2 = (2x + 3y)(5x - 2y)$

$(2x + 3y + A)(5x - 2y + B)$ とおくと、$5A + 2B = -1$、$-2A + 3B = -11$、$AB = -3$。

$A=-3/B$を $5A + 2B = -1$に代入すると$-15/B+2B=-1$. よって$-15+2B^2=-B$, $2B^2+B-15=0$. $(2B-5)(B+3)=0$. $B=5/2$または$B=-3$.

$B=-3$なら $A=1$.

$5A + 2B = 5(1) + 2(-3) = -1$.

$-2A + 3B = -2(1) + 3(-3) = -11$.

$AB=1(-3)=-3$

$(2x+3y+1)(5x-2y-3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + y)(x + y - 1)$

(2) $(x + y + 4)(x + 2y - 3)$

(3) $(ax + b)(bx + a)$

(4) $(x - 2y + 3)(x + y - 1)$

(5) $(x - y + 2)(x - 2y + 3)$

(6) $(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

(7) 因数分解できない

(8) $(2x+3y+1)(5x-2y-3)$