3次方程式 $x^3 + 4x^2 + 6x + 9 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 4x^2 + 6x + 9 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

この3次方程式の解を求めるために、因数定理を利用します。

まず、与えられた方程式を $P(x) = x^3 + 4x^2 + 6x + 9$ とおきます。

$P(x)$ の定数項は9なので、その約数である $\pm 1, \pm 3, \pm 9$ が解の候補となります。

$x = -3$ を代入してみると、$P(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 + 6(-3) + 9 = -27 + 36 - 18 + 9 = 0$ となります。

したがって、$x = -3$ は方程式の解の一つであり、$(x+3)$ は $P(x)$ の因数であることがわかります。

次に、$P(x)$ を $(x+3)$ で割ります。

筆算または組立除法を用いて、

$x^3 + 4x^2 + 6x + 9 = (x+3)(x^2 + x + 3)$

となります。

したがって、与えられた3次方程式は

$(x+3)(x^2 + x + 3) = 0$

と因数分解できます。

$x+3 = 0$ より、$x = -3$ が解の一つです。

次に、$x^2 + x + 3 = 0$ の解を求めます。これは2次方程式なので、解の公式を利用します。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ であり、$a = 1, b = 1, c = 3$ を代入すると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

となります。

したがって、残りの解は $x = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

解は $x = -3, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ です。