円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 8$, $BC = 3$, $CD = 5$, $DA = 5$ であるとき、以下の値を求めます。 (1) 線分BDの長さ (2) 外接円の半径R (3) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 8$, $BC = 3$, $CD = 5$, $DA = 5$ であるとき、以下の値を求めます。

(1) 線分BDの長さ

(2) 外接円の半径R

(3) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さ

余弦定理を利用します。

$\angle B = \theta$とおくと、円に内接する四角形の性質より$\angle D = 180^\circ - \theta$

$\triangle ABD$において、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos \angle A = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos \theta = 64 + 25 - 80 \cos \theta = 89 - 80 \cos \theta$

$\triangle BCD$において、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos \angle C = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos (180^\circ - \theta) = 9 + 25 - 30 (-\cos \theta) = 34 + 30 \cos \theta$

したがって、

$89 - 80 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta$

$55 = 110 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{55}{110} = \frac{1}{2}$

$\theta = 60^\circ$

$BD^2 = 34 + 30 \cos \theta = 34 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 + 15 = 49$

$BD = \sqrt{49} = 7$

(2) 外接円の半径R

$\triangle ABD$について正弦定理を用いると、

$\frac{BD}{\sin \angle A} = 2R$

$\sin \angle A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 四角形ABCDの面積

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABD$の面積と$\triangle BCD$の面積の和である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin (180^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

したがって、四角形ABCDの面積は、

$10\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{40\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = 7$

(2) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $\frac{55\sqrt{3}}{4}$