10本のくじの中に当たりくじが3本あり、10人のクラブから3人の掃除当番をくじ引きで決める。A, B, Cの3人が順番にくじを引くとき、3人とも外れくじを引いて掃除当番にならない確率を求める。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが3本あり、10人のクラブから3人の掃除当番をくじ引きで決める。A, B, Cの3人が順番にくじを引くとき、3人とも外れくじを引いて掃除当番にならない確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、Aさんが外れくじを引く確率を求めます。

次に、Aさんが外れくじを引いたという条件のもとで、Bさんが外れくじを引く確率を求めます。

最後に、AさんとBさんが外れくじを引いたという条件のもとで、Cさんが外れくじを引く確率を求めます。

これら3つの確率を掛け合わせることで、A, B, Cの3人全員が外れくじを引く確率を求めることができます。

Aさんが外れくじを引く確率は、外れくじの数7を全体のくじの数10で割ったものです。

$P(A) = \frac{7}{10}$

Aさんが外れくじを引いた後、残りのくじは9本で、外れくじは6本です。したがって、Bさんが外れくじを引く確率は、

$P(B|A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

AさんとBさんが外れくじを引いた後、残りのくじは8本で、外れくじは5本です。したがって、Cさんが外れくじを引く確率は、

$P(C|A \cap B) = \frac{5}{8}$

したがって、A, B, Cの3人全員が外れくじを引く確率は、次のようになります。

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B) = \frac{7}{10} \times \frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{7 \times 2 \times 5}{10 \times 3 \times 8} = \frac{70}{240} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{24}$