$m \ne 0$である実数$m$に対して、二つの2次方程式 $x^2-(m+1)x-m^2=0$ と $x^2-2mx-m=0$ がただ一つの共通解を持つとき、$m$の値と共通解$x$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$m \ne 0$である実数$m$に対して、二つの2次方程式 $x^2-(m+1)x-m^2=0$ と $x^2-2mx-m=0$ がただ一つの共通解を持つとき、$m$の値と共通解$x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

二つの二次方程式の共通解を$\alpha$とおくと、以下の二つの式が成り立ちます。

$\alpha^2 - (m+1)\alpha - m^2 = 0$

$\alpha^2 - 2m\alpha - m = 0$

二つの式の差をとると、

$(\alpha^2 - (m+1)\alpha - m^2) - (\alpha^2 - 2m\alpha - m) = 0$

$(2m - (m+1))\alpha - m^2 + m = 0$

$(m-1)\alpha - m(m-1) = 0$

$(m-1)(\alpha - m) = 0$

したがって、$m=1$または$\alpha = m$です。

(i) $m = 1$ のとき

二つの二次方程式は$x^2-2x-1=0$となります。二つの方程式が一致するので、ただ一つの共通解を持つという条件に反します。

(ii) $\alpha = m$ のとき

$\alpha = m$ を $x^2 - 2mx - m = 0$ に代入すると、

$m^2 - 2m^2 - m = 0$

$-m^2 - m = 0$

$-m(m+1) = 0$

$m \ne 0$より、$m = -1$です。

$m = -1$ のとき、二つの二次方程式は次のようになります。

$x^2 - (-1+1)x - (-1)^2 = 0$ より $x^2 - 1 = 0$

$x^2 - 2(-1)x - (-1) = 0$ より $x^2 + 2x + 1 = 0$

すなわち、

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$

したがって、共通解は$x = -1$です。

3. 最終的な答え

$m = -1$ であり、共通解は$x = -1$である。