$x \geq 0$, $y \geq 0$ のとき、関数 $f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$ のとき、関数 $f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $x$ について平方完成します。

$f(x, y) = (x - 2y)^2 - 4y^2 + 5y^2 + 2y + 2$

$f(x, y) = (x - 2y)^2 + y^2 + 2y + 2$

次に、$y^2 + 2y + 2$ を $y$ について平方完成します。

$y^2 + 2y + 2 = (y + 1)^2 - 1 + 2 = (y + 1)^2 + 1$

したがって、

$f(x, y) = (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1$

$x \geq 0$, $y \geq 0$ の条件の下で、$(x - 2y)^2$ と $(y + 1)^2$ が最小になるように $x$ と $y$ を選びます。

$(y + 1)^2$ は $y = 0$ のときに最小になり、その値は $(0 + 1)^2 = 1$ です。

このとき、$f(x, y) = (x - 2(0))^2 + (0 + 1)^2 + 1 = x^2 + 1 + 1 = x^2 + 2$ となります。

$x \geq 0$ より、$x^2$ は $x = 0$ のときに最小値 0 をとります。

したがって、$x = 0$ のとき、$f(x, y) = 0^2 + 2 = 2$ となります。

よって、$x = 0$, $y = 0$ のとき、$f(x, y) = 2$ となります。

ここで、$y = -1$ のとき、$(y+1)^2 = 0$ となりますが、$y \geq 0$ という条件に反するため、$y=-1$は不適です。

$f(x, y) = (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1$

$y = 0$ のとき、$f(x, 0) = x^2 + 1 + 1 = x^2 + 2$。

$x \geq 0$ なので、$x = 0$ のとき最小値 2 となり、$f(0, 0) = 2$。

3. 最終的な答え

最小値: 2

そのときのx, yの値: x = 0, y = 0