$x = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求め、選択肢から選ぶ問題です。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 + y^3$ (3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求め、選択肢から選ぶ問題です。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3 + y^3$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

次に、$x+y$と$xy$を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(1) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$

よって、答えはウです。

(2) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = \sqrt{5} \left( (\sqrt{5})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} \right) = \sqrt{5} \left( 5 - \frac{3}{2} \right) = \sqrt{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

よって、答えはクです。

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2+x^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{5-1}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$

よって、答えはカです。

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) ク

(3) カ