$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $b = \sqrt{\boxed{20-1}} - \boxed{20-2}$ (2) $b^2 - 2a = -\boxed{21-1}\sqrt{\boxed{21-2}}$

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $b = \sqrt{\boxed{20-1}} - \boxed{20-2}$

(2) $b^2 - 2a = -\boxed{21-1}\sqrt{\boxed{21-2}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を簡単にします。分母の有理化を行います。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

$\sqrt{3}$ はおよそ 1.732 なので、$\sqrt{3}+1$ はおよそ 2.732 です。

したがって、整数部分 $a = 2$、小数部分 $b = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$ です。

(1) $b = \sqrt{3} - 1$ を $\sqrt{\boxed{20-1}} - \boxed{20-2}$ の形にします。

$b = \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3} - 1$. よって、

$\boxed{20-1} = 3$ かつ $\boxed{20-2} = 1$.

(2) $b^2 - 2a = (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(2) = (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4 = 4 - 2\sqrt{3} - 4 = -2\sqrt{3}$.

これを $-\boxed{21-1}\sqrt{\boxed{21-2}}$ の形にします。

$-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$ より、

$\boxed{21-1} = 2$ かつ $\boxed{21-2} = 3$.

3. 最終的な答え

(1) $b = \sqrt{3} - 1$

$\boxed{20-1} = 3$, $\boxed{20-2} = 1$

(2) $b^2 - 2a = -2\sqrt{3}$

$\boxed{21-1} = 2$, $\boxed{21-2} = 3$