与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$の形になるように式を変形します。

そのためには、$13x^2y^2$を加える必要があります。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$

$(x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2$

ここで、$13x^2y^2 = (\sqrt{13}xy)^2$なので、

$(x^2 + y^2)^2 - (\sqrt{13}xy)^2$

これは、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$の公式を使って因数分解できます。

$(x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)$

ただし、整数係数での因数分解を求められている場合、ここまでの計算は適切ではありません。

与式を $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ とします。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + ax y + y^2)(x^2 + bx y + y^2)$ とおいて、係数を比較します。

展開すると、$x^4 + (a+b)x^3y + (2+ab)x^2y^2 + (a+b)xy^3 + y^4$ となります。

$x^3y$と$xy^3$の係数は0なので、$a+b=0$ よって、$b=-a$

$x^2y^2$の係数は$-11$なので、$2+ab = -11$ つまり、$ab = -13$

$b=-a$を代入すると、$-a^2 = -13$ つまり、$a^2=13$。

したがって、$a = \pm \sqrt{13}$ となり、整数係数ではありません。

次に、

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + axy - y^2)(x^2 + bxy - y^2)$ とおいて、係数を比較します。

展開すると、$x^4 + (a+b)x^3y + (ab-2)x^2y^2 - (a+b)xy^3 + y^4$ となります。

$x^3y$と$xy^3$の係数は0なので、$a+b=0$ よって、$b=-a$

$x^2y^2$の係数は$-11$なので、$ab-2 = -11$ つまり、$ab = -9$

$b=-a$を代入すると、$-a^2 = -9$ つまり、$a^2=9$。

したがって、$a = \pm 3$。

$a = 3$のとき、$b = -3$

よって、$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$