$x = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{b}}$ のとき、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ となるのはなぜか、という問題です。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{b}}$ のとき、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ となるのはなぜか、という問題です。

2. 解き方の手順

$x$が実数であるためには、根号の中身が0以上でなければなりません。したがって、

$$\frac{k - 4\pi r^2}{b} \geq 0$$

が成り立ちます。

ここで、$b > 0$ であると仮定します。

（もし$b < 0$ なら、$k - 4\pi r^2 \leq 0$ となり、$4\pi r^2 \geq k$ より、$r^2 \geq \frac{k}{4\pi}$ となり、$r \geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ となるため、問題文の条件と矛盾します。）

すると、$k - 4\pi r^2 \geq 0$ となります。

これを変形すると、$4\pi r^2 \leq k$ となり、

$$r^2 \leq \frac{k}{4\pi}$$

となります。

両辺の平方根をとると、

$$|r| \leq \sqrt{\frac{k}{4\pi}}$$

$$|r| \leq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$$

となります。

$r$は半径なので、$r > 0$ である必要があります。したがって、

$$0 < r \leq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$$

となります。

また、問題文に$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ とあるので、等号は含みません。

したがって、$x$ が実数であるためには、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ が必要になります。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{b}}$ が実数であるためには、$b > 0$のとき、根号の中身が0以上である必要があるので、$k - 4\pi r^2 \geq 0$。これを変形すると、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ となるため。