与えられた数式 $x = \sqrt{\frac{R-4\pi r^2}{6}}$ について、$0 < r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}R$ の範囲で $x$ が定義される理由を問うています。

1. 問題の内容

与えられた数式 $x = \sqrt{\frac{R-4\pi r^2}{6}}$ について、$0 < r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}R$ の範囲で $x$ が定義される理由を問うています。

2. 解き方の手順

ルートの中身が負にならない条件を考えます。

$R - 4\pi r^2 \ge 0$ が必要です。

この不等式を変形していくと、

$4\pi r^2 \le R$

$r^2 \le \frac{R}{4\pi}$

$r \le \sqrt{\frac{R}{4\pi}}$

$r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{R}$

問題文にある条件 $0 < r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}R$ と上記の計算結果を比較します。$r$ の上限が $r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{R}$ であることが、$x$ が実数として定義されるための条件です。問題文の条件は $R$ ではなく$\sqrt{R}$であるべきです。おそらく問題文に誤植があります。

3. 最終的な答え

$x$ が実数として定義されるためには、ルートの中身が0以上である必要があります。

したがって、$R - 4\pi r^2 \ge 0$ である必要があります。これを解くと、$r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{R}$ となります。

したがって、 $0 < r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{R}$ であれば、$x$ は実数として定義されます。

問題文の条件にある　$0 < r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}R$ 　は、$0 < r \le \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{R}$の誤植である可能性があります。