与えられた3つの式を展開します。 (1) $(2a+3b)^2(2a-3b)^2$ (2) $(x^2+4)(x-2)(x+2)$ (3) $(a+1)^2(a^2-a+1)^2$

はい、承知いたしました。以下の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開します。

(1) $(2a+3b)^2(2a-3b)^2$

(2) $(x^2+4)(x-2)(x+2)$

(3) $(a+1)^2(a^2-a+1)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(2a+3b)^2(2a-3b)^2$

まず、$(2a+3b)(2a-3b)$ を計算します。これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(2a+3b)(2a-3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$ となります。

したがって、

$(2a+3b)^2(2a-3b)^2 = [(2a+3b)(2a-3b)]^2 = (4a^2 - 9b^2)^2$

これを展開すると、

$(4a^2 - 9b^2)^2 = (4a^2)^2 - 2(4a^2)(9b^2) + (9b^2)^2 = 16a^4 - 72a^2b^2 + 81b^4$

(2) $(x^2+4)(x-2)(x+2)$

まず、$(x-2)(x+2)$ を計算します。これは $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$ となります。

したがって、

$(x^2+4)(x-2)(x+2) = (x^2+4)(x^2-4)$

これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(x^2+4)(x^2-4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$

(3) $(a+1)^2(a^2-a+1)^2$

まず、$(a+1)(a^2-a+1)$ を計算します。

$(a+1)(a^2-a+1) = a(a^2-a+1) + 1(a^2-a+1) = a^3 - a^2 + a + a^2 - a + 1 = a^3 + 1$

したがって、

$(a+1)^2(a^2-a+1)^2 = [(a+1)(a^2-a+1)]^2 = (a^3+1)^2$

これを展開すると、

$(a^3+1)^2 = (a^3)^2 + 2(a^3)(1) + 1^2 = a^6 + 2a^3 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $16a^4 - 72a^2b^2 + 81b^4$

(2) $x^4 - 16$

(3) $a^6 + 2a^3 + 1$