問題17：$2x^3 + ax + 10$ を $x^2 - 3x + b$ で割ると、余りが $3x - 2$ になる。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 問題18：等式 $(k+3)x + (2k-1)y + 7 = 0$ が、$k$ のどのような値に対しても成り立つように、$x, y$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

問題17：$2x^3 + ax + 10$ を $x^2 - 3x + b$ で割ると、余りが $3x - 2$ になる。このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

問題18：等式 $(k+3)x + (2k-1)y + 7 = 0$ が、$k$ のどのような値に対しても成り立つように、$x, y$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

問題17：

割り算の式を立てます。

$2x^3 + ax + 10 = (x^2 - 3x + b)(2x + c) + (3x - 2)$

右辺を展開して整理します。

$2x^3 + ax + 10 = 2x^3 + cx^2 - 6x^2 - 3cx + 2bx + bc + 3x - 2$

$2x^3 + ax + 10 = 2x^3 + (c - 6)x^2 + (-3c + 2b + 3)x + (bc - 2)$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $c - 6 = 0$ → $c = 6$

定数項: $bc - 2 = 10$ → $6b - 2 = 10$ → $6b = 12$ → $b = 2$

$x$ の係数: $a = -3c + 2b + 3 = -3(6) + 2(2) + 3 = -18 + 4 + 3 = -11$

問題18：

与えられた式を $k$ について整理します。

$(k+3)x + (2k-1)y + 7 = 0$

$kx + 3x + 2ky - y + 7 = 0$

$(x + 2y)k + (3x - y + 7) = 0$

これが $k$ の値に関わらず成立するためには、$k$ の係数と定数項がともに 0 である必要があります。

$x + 2y = 0$

$3x - y + 7 = 0$

連立方程式を解きます。

$x = -2y$ を $3x - y + 7 = 0$ に代入します。

$3(-2y) - y + 7 = 0$

$-6y - y + 7 = 0$

$-7y = -7$

$y = 1$

$x = -2y = -2(1) = -2$

3. 最終的な答え

問題17：$a = -11$, $b = 2$

問題18：$x = -2$, $y = 1$