$dv/dr = 2\pi r(2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ という条件下で、$dv/dr = 0$ となるのは $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ である。このとき、増減表はどのように考えれば良いか、という問題です。

1. 問題の内容

$dv/dr = 2\pi r(2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ という条件下で、$dv/dr = 0$ となるのは $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ である。このとき、増減表はどのように考えれば良いか、という問題です。

2. 解き方の手順

まず、$dv/dr$ の符号を調べるために、$dv/dr = 2\pi r(2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ を検討します。

- $2\pi r$ は $r > 0$ の範囲で常に正なので、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ の符号が $dv/dr$ の符号を決定します。

- $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ のとき $dv/dr = 0$ となることから、この値の前後で $dv/dr$ の符号が変化する可能性があります。

- $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ の範囲で $dv/dr$ の符号を調べます。$r$ の値を適当に選び、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ に代入して符号を調べます。たとえば、$r = 0$ に近い小さな値を代入すると、$\sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} \approx \sqrt{\frac{k}{6}}$ となり、$2r < \sqrt{\frac{k}{6}}$ であれば、$dv/dr < 0$ となります。

- $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で $dv/dr$ の符号を調べます。$r$ の値を適当に選び、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ に代入して符号を調べます。

これらの符号変化をまとめると、増減表を作成できます。増減表では、$r$ の値の変化に対する $dv/dr$ の符号と、$v$ の増減を示します。

```

r | 0 ~ 1/2*sqrt(k/(π+6)) | 1/2*sqrt(k/(π+6)) | 1/2*sqrt(k/(π+6)) ~ 1/2*sqrt(k/π)

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dv/dr | - (仮定) | 0 | + (仮定)

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v | 減少 (仮定) | 極小 | 増加 (仮定)

```

上記はあくまで仮定に基づく増減表です。実際に符号を調べるためには、具体的な $k$ の値を与え、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ に代入して符号を調べる必要があります。例えば、$k=1$ とした場合、与えられた範囲で適当な$r$の値を代入し$dv/dr$の符号を確認することで増減表を作成できます。

3. 最終的な答え

増減表は、rの範囲を$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ に分割し、$dv/dr$ の符号を各範囲で調べることで作成できます。計算の結果、符号が-から+に変わる場合、 $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ で極小値を取ります。