$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、区間 $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ における増減表の作り方を問う問題です。ただし、$dv/dr = 0$ となるのは $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ のときであることが与えられています。

1. 問題の内容

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、区間 $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ における増減表の作り方を問う問題です。ただし、$dv/dr = 0$ となるのは $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ のときであることが与えられています。

2. 解き方の手順

増減表を作成するには、与えられた区間において、$dv/dr$ の符号を調べる必要があります。

* まず、問題文より、$dv/dr = 0$ となる $r$ の値は $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ であることが分かっています。

また、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ という範囲が与えられています。

この範囲に $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ が含まれることは、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ よりわかります。

* 次に、$dv/dr$ の符号を調べるために、区間 $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ と $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ でそれぞれ $dv/dr$ の符号を調べます。

* $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のとき、例えば $r = 0$ に近い適当な値を代入して $dv/dr$ の符号を調べます。

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ において、$r$ が非常に小さいとき、$2r$ は $\sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ よりも小さくなります。したがって、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ は負の値を取り、$2\pi r$ は正の値を取るので、$dv/dr$ は負の値を取ります。

* $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ のとき、例えば、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ に近い適当な値を代入して $dv/dr$ の符号を調べます。$r$ が$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$より少し大きいとき、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ は正の値を取ります。$2\pi r$ は正の値を取るので、$dv/dr$ は正の値を取ります。

* 以上の情報から、増減表を作成します。

3. 最終的な答え

増減表は以下のようになります。

| r | 0 | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

| :--------------------------- | :-: | :------------------------ | :------------------------------------ | :------------------------ | :-------------------------------- |

| dv/dr | | - | 0 | + | |

| v | | 減少 | 極小 | 増加 | |